Die Elemente der Zahlentheorie / dargestellt von Paul Bachmann.

Die quadratischen Formen. 235
- = a,
und hieraus
sodass die Gleichungen (67) und (68) die Gestalt annehmen:
(69) as- -y = 1
(70) c = a 2- a ba + ca2.
Die beiden entgegengesetzten Formen werden stets äquivalent sein, so oft 2b theilbar ist durch a. Denn setzt man
2b= aß,
so lässt sich, wenn a = 1, y = 0, 6 == gewählt wird, dieser
Gleichung auch die Form geben:
b = (aC - by) ß - (ba - cy) 6';
diese Werthe c, j, y, 6 erfüllen also die drei Gleichungen
(65), (66) und (67), welche die behauptete Aequivalenz kennzeichnen.
Man nennt eine Form (a, b, c), in welcher 2b durch a
theilbar ist, deshalb eine ambige Form, und es beweist
sich nun leicht der Satz: In jeder ambigen Classe befindet sich auch eine ambige Form.
In der That, wenn (a, b, c) der Repräsentant einer ambigen Classe ist, so ist diese Form mit der entgegengesetzten
Form (a, - b, c) äquivalent; es bestehen mithin die Gleichungen (65), (66), (69) und (70), von denen die vorletzte
sich folgendermassen schreiben lässt:
(71) ( - 1) ( - 1) = iy.
Entweder ist nun y = 0; dann folgt a = - = -~ 1, also
nach (66)
2b = a3
und demnach wäre (a, b, c) selbst eine ambige Form.
Oder ß ist gleich Null; dann folgt a == = ~ 1;, also
aus (66)
2b = - cy,
demnach wäre die Form (c, - b, a), welche mit (a, b, c)
äquivalent ist, eine ambige Form.
Oder /ß und y sind verschieden von Null; dann folgt aus
(71) die Gleichheit