Die Elemente der Zahlentheorie / dargestellt von Paul Bachmann.

Einleitung. 9
Ist der Zahlenwerth b - c d, so schreibt man
die negative Zahl c -b =- - -d. Man muss sich dabei
aber stets gegenwärtig halten, dass solche negative Zahl an
sich eigentlich keine Bedeutung hat*), sondern nur in Verbindung mit andern Zahlen, mit welchen sie durch Addition oder Subtraktion verknüpft werden soll.
Dann erkennt man z. B. die Richtigkeit folgender
Gleichung:
(7) a+- (b - c) (b-) + a.
Diese ist selbstverständlich, wenn b- c eine positive Zahl
ist. Ist aber b - c = - d eine negative Zahl, d. h. c - b = d
eine positive Zahl, so haben beide Seiten der behaupteten
Gleichheit nur dann einen stets realen Sinn, wenn die angedeuteten Operationen an eine bereits vorhandene hinreichend
grosse Zahl y angeknüpft werden, sodass die zu beweisende
Formel identisch ist mit der folgenden:
y + (a - d) = (y - d) + a.
Die linke Seite ist zunächst nach (3) gleich (y + a) - d, wofür auch (a +-y) - d, also wieder nach (3) auch a + (y - d)
gesetzt werden kann, was in der That, da y so gross zu
denken ist, dass y - d eine positive Zahl ist, mit (y - d) - a
identisch ist.
Zwischen den beiden Fällen c> b und c < b liegt der
Fall, in welchem b, c einander gleich sind. Die Differenz
c - c ist nun zwar jederzeit insofern ausführbar, als man
sicher erst c Einheiten setzen und sie dann wieder wegnehmen
kann, doch ist das Resultat eigentlich keine Zahl; man kann
aber jenes Zeichen auch ähnlich verwenden wie das Zeichen
der Differenz c - b im Falle c < b, nämlich in Verbindung
mit einer bereits vorhandenen Zahl y, um auszudrücken,
dass zu dieser Zahl erst c Einheiten addirt, dann ebensoviel
weggenommen werden sollen, wodurch dann y gar keine
Aenderung erleidet. Offenbar gilt hier die (7) entsprechende
Gleichung
(7 a) - cc-c- c c.
*) Von jeder etwa möglichen Beziehung oder Anwendung derselben auf reale Objekte wird hier abgesehen.