Die Elemente der Zahlentheorie / dargestellt von Paul Bachmann.

234 Vierter Abschnitt
Oder auch: Die Formenclassen, welche durch zwei
entgegengesetzte Formen repräsentirt werden, sind
einander durchweg entgegengesetzt.
Sind demnach zwei entgegengesetzte Formen
(a, b, c), (a, - b, c)
einander äquivalent, so ist die Classe, welche durch
eine von ihnen reprisentirt wird, identisch mit der
durch die andere repräsentirten Classe und daher
sich selbst entgegengesetzt. Dies gilt insbesondere offenbar von jeder Classe, in welcher eine sich selbst entgegengesetzte Form vorhanden ist, z. B. von der Classe, welche die
Form x2 - Dy2 in sich enthalt. Nach Kummer's Vorgange*)
nennt man jede Classe dieser Art eine ambige Classe
(classis anceps, nach Gauss).
Damit zwei entgegengesetzte Formen
(a, b, c), (a, - b, c)
einander äquivalent sind, ist nothwendig und hinreichend, dass a durch die Form (a, - b, c) zur Wurzel
b gehörig dargestellt werden kann. Es ist nothwendig,
weil a solche Darstellung durch die erstere Form gestattet,
sie also auch durch jede äquivalente Form gestatten muss;
es ist auch ausreichend, weil nach No. 13 aus solcher Darstellung durch die Form (a, - b, c) deren Aequivalenz mit
(a, b, c) folgt.
Die Aequivalenz der beiden Formen spricht sich demnach
in den folgenden drei Gleichungen aus:
(65) a = (aca - by) c - (ba - cy)y
(66) b - (acc - by)/ß - (ba - cy)ä'
(67) a- py - 1,
aus denen als vierte die Gleichung
(68) c = — ap 2bd -+c2
hervorgeht. Wird die erste dieser Gleichungen mit J, die
zweite mit y multiplicirt und letztere dann von der ersteren
subtrahirt, so ergiebt sich ohne weiteres:
*) Monatsber. cL Berl. Akad. volr 18. Febr. 1858, pag. 164.