Die Elemente der Zahlentheorie / dargestellt von Paul Bachmann.

Die quadratischen Formen. 233
(a, b, C), - b, c),
deren äussere Coefficienten übereinstimmen, während die
mittleren entgegengesetzt sind, entgegengesetzte Formen
nennen. Formen, deren mittlerer Coefficient Null ist, sind
daher sich selbst entgegengesetzt; zu solchen zählt z. B. die
schon in mehrfacher Hinsicht hervorgehobene Form
x2 D- Dy2
Ist nun m irgend eine durch die Form (a, b, c) darstellbare Zahl und gehört ihre Darstellung zur Wurzel n der
Congruenz x2 — D (mod. n), sodass es vier ganze Zahlen
a, 3, y, ä giebt, welche die folgenden Gleichungen erfüllen:
aua2 - 2bccy + cy2 = m
(aa + by) + (cb + cy)- = n
a' - ßy = 1,
so wird auch
aa'2 - 2ba'y'- cy'2 m
(aa'- by') '+ (- ba'+ cy') '= - n
a''-_ 'y'= 1
sein, wenn man setzt
c-a=a, '= — P, ry. -, '=,
d. h. dieselbe Zahl ist dann auch einer Darstellung durch die
entgegengesetzte Form fähig, welche zur Wurzel - n gehört.
Nun ist aber nach No. 13 die Möglichkeit, eine Zahl m durch
(a, b, c) zur Congruenzwurzel n gehörig darzustellen, gleichbedeutend mit der Aequivalenz der Formen (a, b, c) und
(m, n, in,), worin
n2 _D
n1
zu setzen ist; das erhaltene Resultat lässt sich demnach auch
so aussprechen:
Ist die Form
(m, n, mn) äquiv. (a, b, c),
so ist auch die entgegengesetzte Form
(m, - n, mn) äquiv. (a, - b, c).