Die Elemente der Zahlentheorie / dargestellt von Paul Bachmann.

230 Vierter Abschnitt
2 + y'2 = 17
ist; hieraus findet sich dann x"'= 14, y"= 5, also
(14. 5)2 + (5.5)2= 13 - 17 52
oder die uneigentliche Zerlegung
702 + 25' = 5525;
vertauscht man 2, 3, setzt also x = 3, y - 2, so findet sich
ebenso rx"= 11, y"= 10 und daraus die zweite uneigentliche
Zerlegung
552 + 502 = 5525.
21. Wenn m = p eine Primzahl von der Form
4n + 1 ist, so gestattet eine solche, da - 1 quadratischer Rest von p ist, Darstellungen durch cTie Form
(1, 0, 1), und sie gestattet nach der allgemeinen
Formel (62) nur eine einzige Zerlegung in die Summe
zweier Quadratzahlen. Zum Schlusse dieser speciellen Betrachtungen über die ausgezeichnete quadratische Form x2 + y2
wollen wir von diesem letztern Satze einen sehr einfachen
Beweis*) hier anfügen.
Da - 1 quadratischer Rest jeder Primzahl p =- 4n -- 1
ist, so giebt es eine ganze Zahl q, für welche
q2 - 1 (mod.p)
ist. Nun kann man auf unzählige Arten zwei ganze durch p
nicht theilbare Zahlen x, y so wählen, dass die Congruenz
x + qy _-0 (mod. p)
erfüllt wird, und da alsdann
(x + qy) (x -- qy) = x2 - (y2
durch p theilbar ist, findet sich wegen q2 - 1 die folgende
Congruenz:
x2 + y2 - 0 (mrod. ),
d. h. die Gleichung
(63) x2+ 2 _ =p IM,
worin 1/I eine positive ganze Zahl ist. Die Zahlen x, y
*) Vgl. Legendre, essai sur la theorie des nombres, 2. edition,
p. 175.