Die Elemente der Zahlentheorie / dargestellt von Paul Bachmann.

228 Vierter Abschnitt
in welchem allgemein, - 2, wenn oi ungerade,
i = 1, wenn ca gerade
ist, gesetzt werden soll, so erkennt man leicht, dass das allgemeine Glied in der Entwicklung des Produktes gleich
4.2.' m'
sein, also jede der Zahlen m' multiplicirt in die Anzahl ihrer eigentlichen Darstellungen durch die Form
x'2 + y'2 erhalten werden wird.
Von der Anzahl der Darstellungen kann man die der
Zerlegungen der Zahl m' in eine Summe zweier relativ
primer Quadratzahlen unterscheiden, indem es bei den
letzteren offenbar gleichgiltig ist, ob das eine der beiden
Quadrate an erster oder an zweiter Stelle steht und umgekehrt
das andere, auch ob die Zahlen x', y' positiv oder negativ
sind; es entspricht daher je acht Darstellungen von
m' durch die Gleichung (60) immer nur eine solche
Zerlegung. Ausgenommen wäre allein die Zahl m'= 1, für
welche man nur vier Darstellungen hat: x'-==- 1 y' = 0
und x'- 0, y'= + 1, welche eine Zerlegung repräsentiren.
Entwickelt man demnach das Produkt:
(61).(2 2 + -- + +- ) (2 +4+ + )
(61)2 y
so wird jedes Glied der Entwicklung eine der Zahlen m'
multiplicirt in die Anzahl ihrer Zerlegungen in die
Summe zweier relativ primen Quadratzahlen; nur in
dem Falle, wo m selbst eine Quadratzahl, also alle ai gerade
sind, sich unter den Zahlen m' demnach auch als letzte Zahl
die Einheit findet, würde das letzte Glied der Entwicklung
_m.. __ _ -
l 2
d. i. gleich der Zahl m'= 1 nur mit der halben Anzahl ihrer
Zerlegungen multiplicirt ergeben.
Wenn demnach jetzt im Produkte (61) die Primzahlen
sämmtlich durch 1 ersetzt werden, so giebt seine Entwicklung