Die Elemente der Zahlentheorie / dargestellt von Paul Bachmann.

Die quadratischen Formen. 227
Daher wird man alle Lösungen der Gleichung (59), auch
diejenigen in relativ primen Werthen x, y, erhalten, wenn
man für alle quadratischen Theiler d2, inclusive der Einheit,
die Gleichung (60) bildet und in relativ primen Werthen
auflöst.
Setzt man nun, indem wir wieder m als ungerade voraussetzen, in Primfaktoren zerlegt
m, = 2..* p/z
mn -=p P1 ' 'P2 1)
so hat jeder quadratische Theiler von m die Form:
ä 22 f- 21 -2 12 fz
-und folglich ist allgemein,n W- 1-21. 2 - 2i))2 2. p-2 M,
-- 'P2 ' ' '., p
worin ßi durch die Bedingungen 0 < 2ßi < ai beschränkt ist.
Nennt man 2yi die grösste gerade Zahl, welche ci nicht übersteigt, so erhält man alle diese Zahlen offenbar durch Entwicklung des Produkts:
In -i-.. + p ' +(D
1 1
Nun hat die Congruenz
x2 - - 1 (rnod. m'),
welche nach der über m gemachten Annahme auflösbar ist,
bekanntlich 22 Wurzeln, wenn A die Anzahl der verschiedenen
Primfaktoren ist, aus denen sich m' zusammensetzt; und da
jeder Wurzel vier eigentliche Darstellungen entsprechen, so ist
die Anzahl der eigentlichen Darstellungen von m' durch die
Gleichung (60) gleich 4 22. Hierbei ist aber offenbar -- x,
sobald keine der Zahlen 2ßi ihren grössten Werth 2yi erreicht hat; wenn dies letztere aber für einen oder mehrere
jener Exponenten der Fall ist, so wird A = -,/ sein, wenn
es ttmal geschieht, dass das entsprechende ai gerade ist; denn,
wenn 2ßi in einem solchen Falle sein Maximum 2i = -ai erreicht, so kommt der Primfaktor pi in m' nicht mehr vor.
Betrachten wir hiernach folgendes Produkt:
4 (+ 2 -+..+ 2 )***(2+- 2+ - - z,.51