Die Elemente der Zahlentheorie / dargestellt von Paul Bachmann.

226 Vierter Abschnitt
Es gehören zur Wurzel
x= 22, y- 71; x= —71, y= 22
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x -— 22, y == —71; x= 71, y - 922
x= 71, y- 22; x 22, y= 71
x - -71, y-=- 22; x 22, y -71
x- 14, y= 73; x - 73, y= 14
x —14, y= — 73; x= 73, y =-14
x= 73, y- 14; x=-14, y- 73
x- 7, y= 74; x= - 74, y= 7
x — 7, y - 74; x= 74, y - 7
x= 74 7 7; x -- 7, y= 74
x= —74, y — 7; x 7 y= - 74
x- 41, y- 62; x --- 62, y/= 41
x= —41, y=-62; x- 62, y ---4
x= 62, y= 41; x==-41, y= 62
x —=-62, y — 41; x- 41, y-=- 62
Hiermit aber ist unsere Aufgabe vollständig gelöst.
20. Wir wollen jedoch an der besonders einfachen quadratischen Form x2 + y2 auch einmal auf die Betrachtung
der uneigentlichen Darstellungen eingehen, fragen also unter
der Voraussetzung, dass - 1 quadratischer Rest ist von n,
nach denjenigen Lösungen der Gleichung
(59) x2 + y2 = m,
bei welchen x, y einen gemeinsamen Theiler haben. Ist dieser
d, so muss m durch d2 theilbar sein, also m = —m' dc; und
umgekehrt, wenn
(60) x'2 + y' - m'
ist, so ist für x = dx', y - dy' die Gleichung (59) erfüllt.
Jeder Darstellung der Zahl m mittels solcher Werthe x, y,
welche d zum grössten gemeinsamen Theiler haben-, entspricht
daher eine eigentliche Darstellung von m', und umgekehrt