Die Elemente der Zahlentheorie / dargestellt von Paul Bachmann.

Die quadratischen Formen. 225
Da weiter vier (eigentliche) Darstellungen der Zahl 17 durch
die Form x'2 + y'2 gefunden werden, nämlich
x'= +1, y'=+4
x-+4, y' =+1,
so liefert uns nun die Formel (57) die sämmtlichen 32 eigentlichen Darstellungen der Zahl 5525 durch die Form (1, 0, 1),
nämlich:
x = +22, y-=+71; x =+71, y ==-22
x-=+- 14, y=- 73; x -= 73, y-= 14
x =-+ 7, y +74; x-= 74, y=4- 7
x=+-41, y=+ 62; x -+62, y/=+41.
Der Vollständigkeit wegen haben wir noch anzugeben, zu
welcher der acht Wurzeln der Congruenz (56) jede dieser 32
Darstellungen gehört. Um diese zu bestimmen, bedienen wir
uns der allgemeinen Formel (13):
acc + by + ny -=0 (mod. m),
welche hier die einfachere Gestalt annimmt:
ny - -- a (mod. m).
Bemerken wir zunächst, dass sie ungeändert bleibt, wenn a, y
beide negativ genommen werden, so folgt daraus, dass c, y
und - a, - y zu derselben Wurzel gehören. Multiplicirt
man aber die Congruenz mit n und beachtet, cass n2 -1
(mod. n) ist, so nimmt sie die Gestalt
na= y (mod. m)
an und lehrt, einerseits, dass jene Congruenz für dasselbe n
giltig bleibt, wenn c, y in - y, a verwandelt werden, d. h.
dass - y, a und auch y, - a zur Wurzel n gehören; andererseits, dass
- n. - - y (mod. m)
ist und dass folglich y,; - y, - a und auch - ac, y; a -
zur Wurzel - n gehören. Diese Resultate stimmen völlig
überein mit den Folgerungen aus den Lösungen der Pellschen Gleichung. Hiernach lässt sich folgende Tabelle aufstellen:
Bachmann, Die Elemente der Zahlentheorie. 15