Die Elemente der Zahlentheorie / dargestellt von Paul Bachmann.

224 Vierter Abschnitt
einzeln gelöst haben, wir daraus auch eine Lösung der
Gleichung
x2 + y2 A B
ableiten können. Und zwar werden x, y" ohne gemeinsamen Theiler sein, sobald A, B es.sind und die Darstellungen (58) dieser Zahlen in der Form (1, 0, 1) eigentliche
Darstellungen sind; weil, wenn x", y" irgend einen gemeinsamen Primtheiler p hätten, aus den Congruenzen
xx' + yy'- O, xy'- x'y O 0 (mod.jp)
sich leicht sowohl diese:
x(x' + y') - 0, y(x'2 + y2) - 0,
welche lehren, dass p ein Primtheiler von B, als auch die
folgenden sich ergäben:
'(x(2 + y2), y0'(Z + 2) 0,
welche lehren, dass p auch ein Theiler von A sein müsste.
Suchen wir hiernach zuerst die eigentlichen Darstellungen
von 25 durch die Form x2 + /2; man findet deren acht, da
die Congruenz
x2 - 1 (mod. 25)
zwei Wurzeln hat, zu jeder Wurzel oder Darstellungsgruppe
aber vier Darstellungen gehören; sie sind die folgenden:
x=~+3, y=+4
x=+42, y +3.
Desgleichen sind die (eigentlichen) Darstellungen der Zahl 13
durch die Form x'2 + y'2 die folgenden:
x'- -- 2, y=- 3
x'= +3, y' +2.
Hieraus schliesst man nach der Formel (57) die folgenden
16 verschiedenen eigentlichen Darstellungen der Zahl 25. 13
durch die Form x2 + y2:
x — + 1, y + 18
x=+l1, y= +l
x == + 18, y== + 1
x-+ 6, y -+ l7
x= + 1, y = ~ 6.