Die Elemente der Zahlentheorie / dargestellt von Paul Bachmann.

222 Vierter Abschnitt
system. Denn jede solche Darstellung gehört nothwendig zu
einer der Wurzeln der Congruenz (53); gehört sie z. B. zur
Wurzel n, so würde diejenige der Formen (52), durch welche
m zu n gehörig darstellbar ist, die mit der Form (n, n, m), )
äquivalente sein, und daher jene Darstellung in einer der
durch das vorige ermittelten Darstellungsgruppen bereits, wie
behauptet, sich vorfinden.
19. Zur Erläuterung des Gesagten suchen wir alle eigentlichen Darstellungen der Zahl nm =5525 durch die (positiven)
Formen der Determinante D d- 1. Welches ist in diesem
Falle das Formensystem? Die reducirten Formen liefern die
Bedingungen
_ M<| 3d.i. M<1
und
I[N]< i d.h. N= 0;
folglich N2 - D =1 und M = 1, M1 == 1; die einzige reducirte Form ist demnach in diesem Falle die Form
(55) (12 O, 1) = x2 + y2
und sie reprisentirt das ganze Formensystem. Die Auflösung
der Congruenz
(56) x2 -- 1 (mod. 5525)
aber kommt, da 5525 = 25 13 17 ist, auf die drei einfacheren Congruenzen
x2 — 1 (mod. 25), x2 - 1 (mood. 13), x2- - i (mod. 17)
zurück, als deren Wurzeln man leicht findet:
x - 7 (mod. 25), x- 5 (mod. 13), x = 4 (mod. 17).
Bestimmt man nun drei Hilfszahlen r, s, t durch die Bedingungen
r -E 1 (mod. 25), r _ 0 (mod. 13), r = 0 (mod. 17)
s-0 s sl s O
t 0 t-0 t 1
so findet man z. B.
r -1326, s - 1275, t = 2925,