Die Elemente der Zahlentheorie / dargestellt von Paul Bachmann.

Die quadratischen Formen. 221
(53) X2 - D (modi. n)
eine gewisse Anzahl von Wurzeln, welche in dem hier vorausgesetzten Falle, wo i zu 2D prim ist, nach den Sätzen in
No. 4 des dritten Abschnitts bestimmt werden kann, nämlich
gleich 2k ist, wenn in aus k verschiedenen Primfaktoren zusammengesetzt ist; wir nennen ihre verschiedenen Wurzeln
Setzen wir, ihnen resp. entsprechend,
s2- D die 2 - D, 2 D = or mn. en
so sind die Formen
(54) (i, n, n m), (nm, n', mi), (m, n",, )
Formen der Determinante D, welche, wie leicht zu übersehen
ist, eigentlich primitiv sind; und demnach giebt es in der
That eigentlich primitive Formen dieser Determinante, durch
welche die Zahl in eigentlich darstellbar ist, denn offenbar
ist m durch die erste jener Formen zur Wurzel n, durch die
zweite zur Wurzel n' gehörig u. s. w. darstellbar mittels der
Werthe 1, 0 der Unbestimmten.
Hiernach giebt es also auch im Formensystem (52) eine
oder mehrere Formen, durch welche n darstellbar ist, und es
giebt in ihm z. B. eine ganz bestimmte Form, durch welche
mi zur Wurzel n gehörig dargestellt werden kann, weil die
Form (m, n, mn, ) nothwendig mit einer bestimmten Form des
Formensystems (52) äquivalent sein muss. Die Entscheidung,
welche dieser Formen das sei, und die sämmtlichen zur Wurzel
n gehörigen Darstellungen der Zahl m durch diese letztere
lassen sich nach unserer oben entwickelten Darstellungstheorie
gewinnen. Die gleiche Untersuchung kann nun bezüglich
jeder der Formen (54) durchgeführt werden, wobei es sich
ereignen kann, dass mehrere dieser Formen ein und derselben
der Formen (52) äquivalent befunden werden, sodass dann m
mehrere zu verschiedenen Congruenzwurzeln gehörige Gruppen
von Darstellungen durch diese letztere gestattet. Auf solche
Weise findet man aber mit Nothwendigkeit alle Darstellungen,
deren die Zahl m durch die Formen (52) fähig ist, d. i. die
sammtlichen Darstellungen der Zahl m durch das Formen