Die Elemente der Zahlentheorie / dargestellt von Paul Bachmann.

220 Vierter Abschnitt
18. Wir haben bis hierher immer nur von den Darstellungen einer Zahl m durch eine bestimmte Form der
Determinante D gehandelt. Fragen wir nun nach allen ihren
Darstellungen durch die eigentlich primitiven Formen von der
Determinante D überhaupt. Offenbar würde es unmöglich
sein, eine erschöpfende Antwort auf diese Frage zu geben,
wenn sie in dem Sinne gefasst würde, dass man die Darstellungen von mn durch alle jene unendlich vielen Formen angeben solle, da deren Menge, wenn überhaupt Darstellungen
vorhanden sind, ebenfalls unendlich gross und in keine allgemeine Formel zusammenfassbar wäre. Da jedoch aus den
Darstellungen einer Zahl durch eine bestimmte Form stets
ohne Schwierigkeit nach den oben angegebenen Methoden ihre
Darstellungen durch jede andere äquivalente Form gefunden
werden können, so genügt es offenbar und hat nur ein Interesse, diejenigen Darstellungen zu finden, deren die Zahl m
durch die Formen eines Formensystems der Determinante
D fähig ist. Diese also wollen wir versuchen zu bestimmen,
beschränken uns aber dabei der Einfachheit wegen auf den
Fall, wo in relative Primzahl gegen 2D ist.
Wir hatten nun in No. 5 eine Bedingung aufgestellt,
welche nothwendig erfüllt sein muss, wenn in durch eine
Form von der Determinante D darstellbar sein soll, von der
aber schon damals ausdrücklich gesagt worden ist, dass sie
nicht hinreiche, um die Darstellbarkeit von m durch eine
gegebene Form jener Determinante zu sichern. Dies war
die Bedingung, dass D quadratischer Rest von in sein müsse.
Handelt es sich dagegen um die möglichen Darstellungen von
mn durch das Formensystem, so wird sogleich erhellen, dass,
wenn jene nothwendige Bedingung erfüllt ist, unbedingt
auch Darstellungen der Zahl m durch irgendwelche Formen
des Systems vorhanden sind, dass also in diesem Sinne genomlien jene Bedingung auch ausreicht.
Seien nämlich
(52) (a, b, c), (a', b', c'), (a, b", c),...
die sämmtlichen eigentlich primitiven Formen eines Formensystems der Determinante D, und D quadratischer Rest
(mod. mn); dann hat die Congruenz