Die Elemente der Zahlentheorie / dargestellt von Paul Bachmann.

Die quadratischen Formen. 217
als die der reducirten Formen, und folglich endlich sein muss,
wenn die Anzahl reducirter Formen nur eine endliche ist.
Alles kommt also darauf an zu zeigen, dass es nur eine
endliche Menge reducirter Formen giebt. Dies ist aber sehr
einfach. Denn, da N nur eine endliche Anzahl verschiedener
Werthe erhalten kann, weil es numerisch kleiner als /+Dist, gilt das gleiche von N2 - D; für jeden dieser in endlicher Anzahl entstehenden Werthe N2 - D giebt es aber
auch nur eine endliche Anzahl von Zerlegungen
N2 - D = M. Mi
in zwei Faktoren MI, Ml und daher ist die Anzahl der Formen
(M, N, MD,
welche den Bedingungen reducirter Formen entsprechen, erst
recht eine endliche, weil ja für solche noch erfordert wird,
dass der Faktor M jener Zerlegung numerisch nicht grösser
/+TD.
als _-__ ist.
Auf diesem Wege sind wir also in der That zum Beweise des Satzes gelangt: Die Anzahl der Classen äquivalenter Formen einer gegebenen Determinante ist
endlich.
17. Es ist nun unzweifelhaft eine nicht nur sehr nahe
liegende, sondern auch interessante Frage, wie gross für eine
gegebene Determinante D die Anzahl der Classen äquivalenter
Formen sei. Die Beantwortung dieser Frage, d. i. die Ermittelung des tief verborgenen Gesetzes, nach welchem die
Classenanzahl abhängig ist von der Determinante, ist jedoch
mit erheblichen Schwierigkeiten verknüpft. Dem Genie Dirichlet's ist es zuerst gelungen, durch Einführung seiner
analytischen Methoden in die Zahlentheorie diese Schwierigkeiten zu überwinden und den Ausdruck der Classenanzahl
als Funktion der Determinante D aufzufinden. Darauf hier
einzugehen verbietet uns der Rahmen dieses, nur den Elementen der Theorie gewidmeten Werkes, wir müssen den
Leser also in dieser Hinsicht auf Dirichlet's bezügliche Ab