Die Elemente der Zahlentheorie / dargestellt von Paul Bachmann.

Die quadratischen Formen. 215
Wir sprechen dies Ergebniss folgendermassen aus: Jede
(positive) Form der Determinante -J ist einer andern
Form dieser Determinante äquivalent, in welcher der
erste Coefficient kleiner als J//-9, der numerische
Werth des zweiten kleiner als 1// ist. Eine solche
Form soll kurz eine reducirte Form heissen.
Zweitens betrachten wir jetzt eine Form
f== (a, b, c)
von positiver Determninante D. In diesem Falle gehen wir
von folgender, gleichfalls quadratischen Form aus:: = (ax + by)2 + Dy'22
deren Determinante gleich - a2D, also negativ gefunden
wird. Wenn daher die relativ primen Werthe x == ~, y - y
den kleinsten Werth hervorbringen, welcher durch diese
Form darstellbar ist, so genügt derselbe, dem vorigen gemäss,
der Ungleichheit
(cta + by)2 + Dy' < -j/ *
welcher man leicht folgende Form geben kann:
(50) (at + by + -/D) + ~+by-y/D < 4
Nun giebt diejenige Zerlegung einer Zahl n in zwei positive
Summanden p, q:
p - q- = n,
bei welcher p — q = -. ist, dem Produkte der Summanden
den grössten Werth, es ist mit andern Worten stets pq < ';
denn, sind p, q nicht einander also mit gleich, so kann
man p = - + r, q = - r setzen und erhält dann
22 2 n2
2 — 4 4<
Hiernach schliessen wir aus der Ungleichheit (50), dass umso mehr