Die Elemente der Zahlentheorie / dargestellt von Paul Bachmann.

Einleitung. 7
Gleichwohl kann man auch in diesem Falle einen bestimmten
Sinn damit verbinden. Statt nämlich die Differenz c b an
sich zu betrachten und die unmögliche Forderung zu stellen,
dass erst c Einheiten gesetzt und davon b Einheiten weggenommen werden sollen, können wir das Zeichen c- b auch
so deuten, dass erst c Einheiten addirt und dann b Einheiten
weggenommen werden sollen. So hat das Zeichen c - b eine
reale Bedeutung zwar nur in Verbindung mit einer andern
schon vorausgesetzten Zahl, etwa y, mit welcher die Zahlen
c, b in der angegebenen Weise verknüpft werden sollen, es
hat dann aber auch wirklich eine reale Bedeutung, da ja die
Zahl y hinreichend gross gedacht werden kann, dass die
angegebenen Operationen sich daran ausführen lassen.
Wir definiren also die Differenz c - b, präciser die
Addition derselben, in dem Falle, wo c < b ist, durch die
Gleichung:
(3) + (C- ) = ( + C) -.
Diese Gleichung besteht von selbst in dem Falle, wo c > b.
Denn, setzt man
(4) (y + c) - b - a,
also y +- c == a b, so ergiebt sich, wenn c> b also
c - b - b' eine bestimmte Zahl ist,
c b b- b'
und
(r + b') + b = a + b,
also
y + b = a,
d. i. die Gleichung (3).
Man findet dagegen, wenn b > c und demnach b - c= b'
eine bestimmte Zahl, also b -b'-+ c ist, aus derselben Gleichung (4) folgendes Resultat:
y + c = (a+V + c,
also y - a + b', y -b'= a, d. h.
(5) - (b - c) = ( + c)- -b.
Die Vergleichung der Formeln (3) und (5) lehrt offenbar, dass
in dem Falle, wo c < b ist, die Addition der Differenz c-b