Die Elemente der Zahlentheorie / dargestellt von Paul Bachmann.

214 Vierter Abschnitt
prim sein werden, durch die Form (a, b, c) eigentlich dargestellt wird. Die Wurzeln der Congruenz
x - D (mod.M)
2 (mod. f)
können sämmtlich numerisch kleiner (genauer: nicht grösser)
als ~ vorausgesetzt werden. Nennt man daher N die Wurzel,
zu welcher die Darstellung von 11 durch (a, b, c) gehört, so
kann N numerisch < 1- angenommen, und nach No. 5 können
die Zahlen ß, J so gewählt werden, dass
(aca + by) P + (bO + cy) = N
ad - py = 1
wird. Setzt nian dann N2 - D M. MI., so ist die Form
(a, b, c) der andern Form
F =(MI, N, X,)
äquivalent, und folglich ist 31 auch die kleinste durch die
letztere darstellbare Zahl. Nun ist
M. F= (Mx + Ny)2 + Jy2;
wählt man hierin y = 1, so kann, sobald N von Null verschieden ist, x so gewählt werden, dass MIx + N numerisch
kleiner wird als 2; dann wird der entsprechende Werth der
Form F, er heisse M', der Bedingung genügen:
M 3.M'<- +.
Ist - = 0, so erreicht man dasselbe, indem x = 0, y- 1
gesetzt wird. Da aber 1l < ' M' sein muss, findet sich umsomehr
M M<-4 + D,
woraus
M< 4A
3
hervorgeht, während daher für den numerischen Werth von
N die Ungleichheit statthat:
[NJ /j