Die Elemente der Zahlentheorie / dargestellt von Paul Bachmann.

Die quadratischen Formen. 213
führt also - wie auch sogleich klar ist - die quadratische
Form (a, b, c) in sich selbst über, und die allgemeine Formel
(48) liefert nun vermittelst dieser besonderen Transformation
die sämmtlichen Transformationen der Form (a, b, c) in sich
selbst durch nachstehendes Schema:
(t - bzu, - c
(49) at t +. u
16. Der Begriff der Aequivalenz gestattet, alle eigentlich
primitiven Formen (a, b, c) derselben Determinante
D = b2 - ac,
deren Anzahl offenbar unendlich gross ist, in Classen zu
theilen, indem man zwei Formen in dieselbe Classe nimmt
oder nicht, jenachdem sie einander äquivalent sind oder nicht,
der Art, dass eine bestimmte Form niemals in zwei verschiedenen Classen zugleich befindlich sein kann. Hier ist es nun
von wesentlichem Interesse, zu untersuchen, ob die Anzahl dieser Classen äquivalenter Formen derselben
Determinante endlich ist oder nicht. Der Nachweis,
dass sie endlich ist, kann folgendermassen erbracht
werden.
Handelt es sich zunächst um Formen von negativer
Determinante D = - -, so kann man sich auf die positiven Formen derselben beschränken, da jeder positiven Form
(a, b, c) die negative Form (- - b, — c) und umgekehrt,
und demnach auch offenbar jeder Classe positiver Formen eine
solche von negativen Formen und umgekehrt entspricht.
Ist nun
f= (a, b, c)
eine positive Form der Determinante D = -, so kann
man setzen:
af= (ax + by)2 + dy5
Da dieser Ausdruck für ganzzahlige x, y, wenn sie nicht
beide Null sind, wesentlich positiv und ganzzahlig ist, wird
er nothwendig für gewisse Werthe c, y von x, y einen allerkleinsten Werth annehmen, welcher a M heisse, sodass M
mittels der Werthe x == a, y = y, welche jedenfalls relativ