Die Elemente der Zahlentheorie / dargestellt von Paul Bachmann.

212 Vierter Abschnitt
mßb + nic,
woraus man endlich findet
ß'== ßt-(b + c') vu.
Von neuem ausgehend von den Gleichungen (46), um aus
ihnen jetzt ß' zu eliminiren und dann ganz analog zu verfahren, wie soeben geschah, erhält man
a' = - t + (aß + b) u.
Demnach gewinnt man aus einer Transformation
(' r ) mit der Bedingung as - y =- 1 der Form (a, b, c)
in eine andere Form alle übrigen ähnlichen Transformationen in dieselbe Form mittels der Formeln:
48 at- (ba + cy) t ßt - (bß + cd) i\
(48) yt+ (aa +by)', t t+ (aß +b)u t'
indem man für t, u alle ganzzahligen Lösungen der
Pell'schen Gleichung darin einsetzt.
Da jede Form sich selbst äquivalent ist, kann man auch
nach den sämmtlichen Transformationen einer Form in sich
selbst fragen. Diese lassen sich in der That sofort aus den
eben angegebenen allgemeinen Formeln erhalten, wenn man
darin eine solche Transformation (,j einführt. Nun ist
7,
aber a = 1, y = 0 eine Darstellung der Zahl a durch (a, b, c),
welche nach der Schlussbemerkung von No. 5 zur Wurzel b
gehört. Setzt man daher diese Werthe in die Gleichung
b = (aa + by)f + (bat + cy)
ein, so findet man
b (1 -- ) -aß;
andererseits giebt die Gleichung
a - y = — 1
für a 1, y = 0 den Werth 6 = 1, wonach endlich aus der
vorigen Beziehung ß= 0 hervorgeht. Die Substitution ( )
\~; 1/