Die Elemente der Zahlentheorie / dargestellt von Paul Bachmann.

Die quadratischen Formen. 211
unter der Voraussetzung, dass man eine solche kennt,
oder, was dasselbe ist, dass man eine Transformation
von (a, b, c) in (m, n, nz) gefunden hat, daraus alle
übrigen Transformationen ableiten können. Sind nämlich o, y; a', y' zwei zu derselben Wurzel gehörige Darstellungen, so sind diese durch die Gleichung
a' a[- by' + r'/D = (aa + by + 7y/D). (t + n/D),
in welcher t, u eine Lösung der Pell'schen Gleichung bezeichnen, mit einander verbunden. Daraus folgen jedoch diese
anderen:
aa'+ by'= (aa + by) t + Dyt
y'== yt + (aa + by) u
und also
aoc at - (b a + cy)u.
Sind dann f, 6; ß', b' die zugehörigen Lösungen der beiden
Gleichungen
ad - py = l, ''- 'y'= 1,
so werden die Werthe ß', ' erhalten durch Auflösung der
beiden folgenden Gleichungen:
(46) I (caGO'+ by') 3'+ (b '+ ey') ö'= n
- 6) 'f+ 6' =1,
während
(47) (a+a - by) + (ba + cy) = n
ist. Durch Elimination von d' aus (46) findet man
mn'-= nß' - (bu'+- cy')
= (na - ba - cy) t - [n(ba + cy) - Da] u.
Schreibt man den Coefficienten von t in der Form:
n a -- (ba +- cy) (a - ßy)
und setzt für n seinen obigen Werth (47), so findet man für
den eben geschriebenen Ausdruck ohne Mühe den Werth anß.
Dem Coefficienten von t dagegen kann man die Gestalt geben:
b (na - bo - cy) ( c(ny -+- aa + br),
in welcher der Faktor von b bereits gleich mß gefunden
worden ist, der Faktor von c aber sich auf analoge Weise
gleich nm ergiebt. Also ist der Coefficient von u gleich
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