Die Elemente der Zahlentheorie / dargestellt von Paul Bachmann.

208 Vierter Abschnitt
Von hier geht man nun leicht zu den Darstellungen der
Zahl - 22 durch die Form (2, - 5, 11) über. Denn - 13
wurde durch diese Form mittels der Werthe a =7, y = 3
zur Wurzel 9 gehörig dargestellt, sodass die entsprechenden
Zahlen ß, ö durch die Gleichungen
7 - 3 3=1
und
(2a - 5y)3 + (- 5 + 11ty) 9
d. i.
ß + 2d -9
bestimmt sind; und hieraus fliessen P = - 5, = - 2.
Nach der ersten der Formeln (44) hat man also für die Darstellung x 2, y = 5 der Zahl - 22 durch die Form
(- 13, 9, - 6) folgende Bestimmungen:
- 2A + 5F==2, 7- 3A =5,
für die andere Darstellung x = 8, y =15 diese:
-2A+ 5r=8, 7F - 3A- 15;
also findet man, jenen Darstellungen entsprechend, die Darstellungen
A — 11, r — 4
A= -19, r — 6
der Zahl -22 durch die Form (2, - 5, 11), von denen die
erste die Congruenz
2x - 5y + 5y 0 (mod. 22),
die andere die Congruenz
2x - 5y - 5y 0 (mod. 22)
befriedigt, sodass jene zur Congruenzwurzel + 5, diese zur
Wurzel - 5 gehört. Nachdem man so aus jeder der vorhandenen Darstellungsgruppen je eine Darstellung ermittelt
hat, findet man nach No. 6 und 9 säimmtliche Darstellungen
der Zahl - 22 durch die Form (2, - 5, 11) mittels nachstehender zwei Formeln:
2x - Sy + yVI = (2 + 4}/3). (2 + V3)
2x - 5y + y/3 - + (8 + 6/3). (2 + 1/3),
wenn k alle ganzzahligen Werthe durchläuft.