Die Elemente der Zahlentheorie / dargestellt von Paul Bachmann.

206 Vierter Abschnitt
Zur näheren Erläuterung suchen wir alle möglichen Darstellungen der Zahl - 22 durch die Form
2x2 - 10xy + lly2
von der Determinante D =3 zu bestimmen. Man findet,
dass diese Form für x = 7, y ==3 den Werth
2.49 - 10 21 + 11 9 - 13
annimmt; die Wurzeln der Congruenz
x2 - 3 (mod. 13)
sind aber x 9 und x - 9, und die Darstellung der Zahl
- 13 gehört zur Wurzel 9, da die Congruenz
2.7- - 5 -3 + 3n 0 (mod. 13)
für n = 9 erfüllt wird. Da endlich
92 - 6
-13
gefunden wird, so ist die gegebene Form (2, - 5, 11) der
folgenden:
(- 13, 9, - 6)
äquivalent, und es handelt sich daher -um die Auflösung der
Gleichung
(45) - 13x2 + 18xy - 6yg = - 22.
Wir haben zunächst diejenigen Auflösungen zu ermitteln, bei
welchen
y zwischen 0 und 1/22.13 = /286 d. i. zwischen 0 und 16
und dann für jede dieser ganzen Zahlen y jedesmal der Ausdruck - 13x + 9y
zwischen 2y und 2 * /286 d. i. zwischen 2y und 33
enthalten ist. Solcher Systeme giebt es aber nur folgende:
für y - -. O x =0, -1 - 2
2.. 1, 0 -2... 1 0
3 * * * 1, 0
4... 2,1
5.. 2, 1