Die Elemente der Zahlentheorie / dargestellt von Paul Bachmann.

(3 Einleitung.
zwei, in der neu entstandenen Reihe von n —.- 2 Zahlen wieder
irgend zwei u. s. f., bis die neu entstandene Reihe nur eine
Zahl noch enthält; diese ist von der Art und Weise, wie die
einzelnen Additionen ausgewählt werden, unabhängig und wird
die Summe der n Zahlen genannt, in Zeichen:
a, + a2 + +* + a.Die Summe zweier oder mehrerer Zahlen ist grösser als
jede einzelne derselben. Denn nach (2a) findet man die
Gleichungen:
(a + 2) = (a +- ) +-
(a + 3)= (a + 2) +1
u. s. f., welche lehren, dass a + b grösser ist, als jede der in
der natürlichen Reihe voraufgehenden Zahlen, also auch als a.
4. Die Umkehrung der Addition ist die Subtraktion.
Wenn jene nämlich zwei Zahlen a, b in bestimmter Weise zu
einer dritten Zahl c, ihrer Summe, verknüpft, so verknüpft
die Subtraktion die Zahl c so mit einer jener Zahlen, etwa
mit b, dass die andere a entsteht; sie ist also eine solche
Verknüpfung zweier verschiedener Zahlen c, b, dass die
entstehende Zahl a, mit der kleineren b von jenen additiv
verknüpft, die grössere c derselben zur Summe hat, oder -
kürzer gesagt - um b vermehrt gleich c wird. Diese Beziehung schreibt man folgendermassen:
und nennt c den Minuendus, b den Subtrahendus, a die
Differenz. Die Differenz zweier verschiedenen Zahlen ist
demnach eine dritte Zahl, die, um die kleinere von jenen vermehrt, die grössere ergiebt. Man findet sie offenbar, indem
man von c successive b Einheiten fortnimmt.
Einen wesentlichen Unterschied zeigt die umgekehrte
Operation, die Subtraktion, vor der direkten Operation, der
Addition, insofern als diese stets ausführbar ist, wie beschaffen
die Zahlen, welche verknüpft werden sollen, auch sind, während
jene nur dann ausgeführt werden kann, d. h. nur dann eine
Zahl der natürlichen Zahlenreihe hervorbringt, wenn der
Minuendus grösser ist als der Subtrahendus. Das Zeichen
c - b hat also von vornherein keinen Sinn, wvenn c < b ist.