Die Elemente der Zahlentheorie / dargestellt von Paul Bachmann.

204 Vierter Abschnitt
mittels der Werthe a'= — y, D'= --. Der eben bewiesene
Satz ergiebt daher den weiteren Umstand, dass auch die Zahl
c durch die Form (In, n, min) dargestellt werden kann mittels
der Werthe 6'- - 3, - 7'= a, und dass diese Darstellung
zur Wurzel - b der Congruenz x2 - D (mod. c) gehört.
Hieraus entsteht zunächst die Gleichung
(42) c = ß2 - 2nßpa + Am1 2
und nun aus der zweiten der Gleichungen (41) die folgende:
b — == (mn2t - 2nßa c + m1a2)y +- (13n - na) (ad - ßy),
der man leicht die Gestalt giebt:
(42) - b = (nm - na) - (Inß - n, a) y
welche auch unmittelbar aus der zuvor für b aufgestellten
Formel (42) hervorgeht.
Wir fassen diese Betrachtungen zusammen, indem wir
sagen: Sobald eine Zahl mi durch die Form (a, b, c)
zur Wurzel n gehörig dargestellt werden kann mittels
der Werthe a, y, finden umgekehrt folgende Gleichungen statt:
a — nd m2 - 2ndy -- + nly
(43) b= - (-m - (nö) ß + (n --- (6 y)
c mnß2 - 2Dnßa + mna2.
Hieraus kann man nun ohne Schwierigkeit die
Aequivalenz der beiden Formen
(a, b, c) und (m, n, mn)
derselben Determinante D folgern, sobald mn durch
(a, b, c) zur Wurzel n gehörig dargestellt werden
kann. Dazu ist nur zu zeigen, dass, wenn eine Zahl M durch
eine von ihnen zur Wurzel N der Congruenz x2 - D (mod. 1M)
gehörig darstellbar ist, sie einer gleichen Darstellung auch
durch die andere Form fähig ist. Das vorige Resultat erlaubt
hierbei offenbar, nach Belieben von der Form (a, b, c) oder
von der Form (in, n, mn1) auszugehen. Wir nehmen also an,
M sei eine Zahl, welche durch (a, b, c) zur Congruenzwurzel
N gehörig darstellbar ist, oder setzen voraus, es sei