Die Elemente der Zahlentheorie / dargestellt von Paul Bachmann.

202 Vierter Abschnitt
(aa -+ by) a + (ba -+ cy)y = m
(aa + by) p + (bc + cy) d = n
(38) $(as + ()) ß + (b )6 + c)
a1 - y= 1,
~&2 -a D
wobei m = - gesetzt ist.
Schreibt man nun in diesen Gleichungen für a, H, y, a
resp. - y', -, a', p', setzt also
(39) -=y7, — d, y -a, d p,
sodass die Gleichung stattfindet:
(40) ''- ' ty'
so nehmen die beiden ersten jener Gleichungen die Gestalt an:
4(cca- bya') e-+ (- baO — ay')y'= m
(40) \(cCa- by')ß'+ (-ba'+ay')d'=n
und lehren offenbar, dass a, y' eine Darstellung der Zahl m
durch die Form (c, - b, a) ist, welche zur Congruenzwurzel
n gehört.
Wir werden nun zwei quadratische Formen derselben Determinante einander äquivalent nennen,
wenn jede Zahl, welche durch die eine von ihnen dargestellt werden kann, auch durch die andere einer
Darstellung fähig ist, welche zu derselben Congruenzwurzel gehört, wie die erstere. Aus dieser Definition
folgt sogleich der Umstand, dass, wenn von zwei
äquivalenten Formen (a, b, c) und (a', b', c') die erste
eigentlich primitiv ist, es die zweite auch ist; denn
hätten im Gegentheil a', 2b', c einen gemeinsamen Theiler
a, so ginge dieser auch in 2) == 2b'2 2a'c' auf und ebenso
in jeder durch (a, b', c') darstellbaren Zahl, während doch
nach No. 4 durch (a, b, c) Zahlen darstellbar sind, welche
mit 2D keinen gemeinsamen Theiler besitzen.
Nach dieser Definition können wir ferner das vorhergehende Ergebniss kurz in dem Satze ausdrücken: Die beiden
Formen (a, b, c) und (c, - b, a) sind einander äquivalent.