Die Elemente der Zahlentheorie / dargestellt von Paul Bachmann.

Die quadratischen Formen. 201
2x - 5y + yj/3
von positivem Werthe. Hiernach kann man alle Complexe
positiver Darstellungen und damit auch alle Darstellungsgruppen aufstellen, nämlich diese zwei:
2x - 5y + yi3 = + (5 + /3). (2 + 1/3)
2x- 5y + yT/3 = (7 + 3/3). (2 + V),
wenn k alle ganzzahligen Werthe erhält. Auch lassen sich
die Congruenzwurzeln, denen diese Gruppen zugehören, sogleich angeben. Denn die Congruenz
x - 3 (mod. 11)
hat die beiden Wurzeln + 6 und - 6; man findet aber, dass
die Congruenz
2x - 5y- +ny — 0 (mod. 11)
für die erste Gruppe, nämlich für x = 5, y - 1, erfüllt wird,
wenn n = 6, für die zweite Gruppe, nämlich für x = 11,
y = 3 dagegen, wenn n = - 6 gesetzt wird. Jene Gruppe
gehört also zur Congruenzwurzel n - 6, diese zur Congruenzwurzel n - - 6 (mod. 11).
Offenbar ist x = 0, y = 1 eine Darstellung der Zahl 11,
welche zur Congruenzwurzel - 6 gehört; man muss sie also
aus der zweiten Gruppe finden, wenn man k passend wählt;
und in der That ergiebt sie sich für k ==- 1, wenn das
untere Vorzeichen gewählt wird.
13. Nachdem wir so, von einer Lücke abgesehen, welche
bald ausgefüllt werden soll, die Untersuchung betreffend die
Darstellung einer Zahl durch eine quadratische Form vollständig durchgeführt haben, wenden wir uns nun zu einem
andern Probleme, welches sich daran anschliesst, zur Frage
nach der sogenannten Aequivalenz quadratischer Formen.
In No. 5 ist gezeigt, dass jede eigentliche Darstellung
a, y einer Zahl m durch eine Form (a, b, c) von der Determinante D zu einer bestimmten Wurzel n der Congruenz
x2 D (mod. m) gehört, was seinen Ausdruck fand in den
Formeln (11), denen wir die Gestalt geben können: