Die Elemente der Zahlentheorie / dargestellt von Paul Bachmann.

Die quadratischen Formen. 199
stimmten Wurzel der Congruenz x2 - D (mod. m) gehört,
nicht grösser als die Anzahl dieser Wurzeln ist. Nach der
angegebenen Methode werden aber diese Systeme (35) dadurch
ermittelt, dass von allen Systemen x, y, welche den Ungleichheiten (34) genügen, diejenigen ausgewählt werden,
welche auch die Gleichung (32) erfüllen. Soll diese Methode
nun brauchbar sein, nämlich gestatten, wirklich alle Darstellungen der Zahl m zu finden, so ist offenbar die Bemerkung
wesentlich, dass man nur mit einer endlichen Anzahl von
Systemen x, y die letztgenannte Probe zu versuchen hat.
Dies erreichen wir aber, indem wir durch eine geeignete Wahl
der positiven Zahl a, deren besonderer Werth für unsere Betrachtung nicht in Frage kam, die Ungleichheiten (34) so umgestalten, dass sie diesen wichtigen Umstand sogleich erkennen
lassen.
Wir setzen 6 =+ — /am. Da es sich darum handelt,
welche ganze Zahlen x, y gleichzeitig die Bedingungen (32)
und (34) zusammen erfüllen, dürfen wir dann in (34)
am == (ax + by)2 -- Dy2
=(ax + by + y/lD). (ax + by - y/D)
statt 62 schreiben, und erhalten, wenn jene Ungleichheiten
quadrirt und darauf mit dem positiven Ausdrucke
ax + by + y}/D
dividirt werden, die nachstehenden:
(36) ax + by - y/ID
< ax + by + y1/D < (ax + by - yD). (T + U/D)2.
Aus ihnen folgen durch eine einfache Diskussion die
beiden anderen:
y>O, ax+by> -y.
Diese letztern aber, verbunden mit der Gleichung
(ax + by)2 - Dy2 = am,
gestatten den ganzen Zahlen x, y nur einen beschränkten
Raum; es muss nämlich y zwischen 0 und U. l/am, und
für jeden solchen Werth von y dann ferner ax +4 by zwischen