Die Elemente der Zahlentheorie / dargestellt von Paul Bachmann.

196 Vierter Abschnitt
Man findet alle pythagoräischen Zahlen x, y, z,
bei welchen - positiv und x - y 1 ist, indem man
in der Gleichheit
(31) x + y + 2 =- (V2 + l). (3 + 2/2)
für jeden ganzzahligen Werth des k das Rationale
vom Irrationalen trennt und die so entstehenden
Gleichungen mit der Relation x-y 1 verbindet.
Z. B. findet sich
für k 1: x= 4, y - 3, S z 5
k =2: x= 21, y= 20, S- 29
k-=3: x= 120, y =119, z=169.
12. Nachdem in No. 9 die vollständige Auflösung der
Pell'schen Gleichung im Falle einer positiven Determinante
geleistet ist, wenden wir uns nunmehr zur Aufsuchung
aller Darstellungen einer Zahl im durch eine Form
(a, b, c) von positiver Determinante D. Es sollen mit
andern Worten alle relativ primen Zahlen x, y gefinden
werden, welche die Gleichung erfüllen:
(32) ax2 + 2bxy + cy2 =m,
in welcher D = b - ac positiv ist. Diese Aufgabe lösen wir
für den Augenblick jedoch nur unter der Voraussetzung, dass
m gleiches Vorzeichen habe wie a; der andere Fall wird in
Kurzem hierauf zurückgeführt werden.
Es ist aber zuerst einleuchtend, dass, wenn x, y eine
Lösung der Gleichung (32) bezeichnen, auch - x, - y eine
solche sein müssen. Von diesen zwei zusammengehörigen
Systemen von Werthen wird indessen nur das eine die Eigenschaft haben, dass es den Ausdruck
ax + by + y}/D
positiv macht. Jede Auflösung dieser Art wollen wir -
eines kurzen Ausdrucks wegen - eine positive Auflösung
nennen, was also durchaus nicht besagt, dass x und y selbst
positiv sein sollen. Offenbar genügt es, von allen möglichen
Auflösungen der Gleichung (32) die positiven zu ermitteln,
da aus ihnen die übrigen gefunden werden, indem man jene