Die Elemente der Zahlentheorie / dargestellt von Paul Bachmann.

Die quadratischen Formen. 195
k jedem positiven oder negativen ganzzahligen Werthe, und
dann die rationalen und die irrationalen Theile rechts und
links einander gleich setzt. Wir wollen versuchen, in die
Formeln (26) und (27) die Fundamentalauflosung einzuführen.
Setzt man
t'+ 'V1/2= (t +i V)2
d. i.
t'-= t2 -+ 2u2, u'= 2tu,
so findet sich aus (26)
x - y = t'-+- 2', = t' -- u'
und daraus
x + y + z/2 = (1/2 + i) (t + l/2)2,
folglich nach (28)
(29) x + y + /2 = (12 + 1) * (3 + 212)2,
während x - y = 1 ist.
Desgleichen erhält man aus (27)
X + = - -t'- + 2', -= t' - '
und folglich
x + + l/2 = (/2 -- ) (t + ni/2)2
d. i.
x + + 1/2 = (12 -- 1). (3 + 21/2)2
während y - x = 1 ist. Da man ferner findet:
1J -1= 1/2+_
so kann die letzte Formel auch so geschrieben werden:
(30) x -- y + 1/2= (2 + 1). (3 + 2/2)2-1.
Bis hierher haben wir stets y als gerade, x als ungerade
betrachtet; wenn das umgekehrte der Fall wäre, so würde
offenbar die Formel (29) gelten, während y - x 1, die
Formel (30), während x - y = 1 ist. Lassen wir es daher
jetzt dahingestellt, welche der Zahlen x, y gerade, welche von
ihnen ungerade ist, beschränken uns dagegen auf diejenigen
Systeme, bei denen x - y = 1 ist, so lässt sich das Gefundene
in folgendem bemerkenswerthen Satze aussprechen:
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