Die Elemente der Zahlentheorie / dargestellt von Paul Bachmann.

Einleitung. 5
Denkt man sich ferner eine Vielheit A von a Einheiten,
eine Vielheit A' von a', eine Vielheit A" von a" Einheiten,
so werden sie zusammen eine Vielheit C bilden, welche aus
c Einheiten bestehe. Man bezeichne die aus A, A' zusammengesetzte Vielheit wieder mit B, mit b die Anzahl ihrer Einheiten, die aus A', A" zusammengesetzte Vielheit mit B' und
mit b' die Anzahl ihrer Einheiten; dann ist b = a + a',
b a'+ a' ". Nun kann man C sowohl zusammengesetzt
ansehen aus B und A", als auch aus A und B', wovon die
Anzahl c nicht berührt wird; folglich wird sowohl
c =(a + a') + a"
als auch
c = a + (a' + a"),
also
(2 a) (a + a') + a" = a + (a'+ a'")
sein. In dieser Gleichung spricht sich eine zweite charakteristische Eigenschaft der Addition aus, um derentwillen sie
associativ heisst.
Aus beiden Eigenschaften zusammen ergiebt sich, dass
man dieselbe Zahl c auch noch auf folgende Weisen bilden
kann:
c =D (a'+ a) + at a'+ (a + a")
c a + (a"+ a') = (a + a") + a'
c = a"+ (a + a') (aC"+ a) + a'
c = a" + (a' + a) = (a"+ a') + a
c = a' + (a" + a) = (a'+ a") + a,
d. h. man erhält dieselbe Zahl, wie man auch von den drei
Zahlen a, a', a" zuerst zwei mit einander und dann die so
entstehende Zahl mit der dritten durch Addition verknüpft.
Man nennt die Zahl c die Summe der drei Zahlen a, a', a"
und schreibt einfach
c = a + a'+ a".
Durch Verallgemeinerung findet man so den folgenden
Satz: Um n Zahlen
a1, a2,... a.
zu addiren, hat man zwei beliebige von ihnen zu addiren, in
der so entstehenden Reihe von n - 1 Zahlen wieder irgend