Die Elemente der Zahlentheorie / dargestellt von Paul Bachmann.

Die quadratischen Formen. 193
ist aber unvereinbar mit dem Bestehen der Gleichung (22),
weil jedes ungerade Quadrat, durch 4 getheilt, den Rest 1
lässt, die linke Seite also den Rest 2 lassen würde, während
das gerade Quadrat rechts durch 4 theilbar wäre. - Nun
kommen x, y symmetrisch in der Gleichung (22) vor; wir
können also nach Willkür diese oder jene von ihnen, z. B. y
als gerade, also dann x als ungerade voraussetzen. Wird
dann die Gleichung (22) folgendermassen geschrieben:
y2 = (Z + x) (z - x),
so muss jede der Primzahlpotenzen, aus denen y2 besteht, und
deren Exponenten nothwendig gerade sind, auf die Faktoren
rechts sich vertheilen; da jedoch z + x und z - x keinen
andern gemeinsamen Theiler haben können, als welcher auch
in ihrer Summe und in ihrer Differenz, d. i. in 2z und 2x,
aufgeht, und diese der Annahme nach nur den Theiler 2 gemeinsam haben, so muss jede Potenz einer ungeraden Primzahl, welche in y2 enthalten ist, nothwendigerweise ganz in
einem der beiden Faktoren aufgehn, und man findet demnach
leicht, wenn m, n zwei ganze relativ prime und ungleichartige
Zahlen bedeuten:
z + x -- 2 + 2m , x - = + 2n2,
wobei die Vorzeichen correspondiren; folglich werden alle
pythagoräischen Zahlen der betrachteten Art durch
die Formeln gegeben:
(23) x = - (m2 -n), y = 2mn, z = + (2 + 2-),
wo wieder die Vorzeichen correspondiren, bei y aber ein
doppeltes Vorzeichen unnöthig zu setzen ist, da m, n Unbestimmte der angegebenen Art sind. Beschränken wir
uns auf positive Werthe von z, so gelten die Formeln:
(24) x == n2 - n2, y2 = 2mn, =m2 + n2.
Man findet z. B., wenn - = 2, n - 1 gewählt wird,
x = 3, y = 4 5
also drei aufeinanderfolgende ganze Zahlen.
Es ist leicht einzusehen, dass ausser dem Systeme — 4,
0, + 1 das eben genannte das einzige System von drei aufeinanderfolgenden pythagoräischen Zahlen ist; denn, heisst u
Bachmann, Die Elemente der Zahlentheorie. 13