Die Elemente der Zahlentheorie / dargestellt von Paul Bachmann.

192 Vierter Abschnitt
welche 1 + -DU2 einer Quadratzahl gleich wird, was nach
dem oben Bewiesenen jedenfalls einmal eintreten muss; nennt
man die positive Basis dieser Quadratzahl T, so ist T, U die
Fundamentalauflösung der Pell'schen Gleichung.
Dies z. B. angewendet auf die Fälle, in welchen
D — =3, 5, 7, 11, 12
ist, liefert folgende Fundamentalauflösungen der P e ll'schen
Gleichungen:
t2- 32 = 1, T= 2, U 1
t2- 52-1, T= 9, U 4
t2 - 7u2 1, T= 8, U 3
t'- 11 u2=1, 10, = 3
t2 — 1262=l, T1= 7, U=2.
11. Um sogleich eine Anwendung der erlangten Resultate zu geben, betrachten wir die sogenannten pythagoraischen Zahlen, d. h. diejenigen ganzen Zahlen x, y, z,
welche der Gleichung genügen:
(22) x2 + Z. =
Doch können wir uns von vornherein auf solche Zahlen beschränken, welche zu je zweien relativ prim sind; denn hätten
z. B. x, z einen von 1 verschiedenen grössten gemeinsamen
Theiler d, sodass x = — xd, z = 'd, x', z' aber relative Primzahlen wären, so müsste offenbar y2 durch d2 also auch y
durch d theilbar, y y'd sein, und man erhielte sofort, indem man die Gleichung mit d2 dividirt, die Gleichung
x ' + -y'2 = '
derselben Form wie (22), in welcher aber x', z' relativ prim
sind, was nun zugleich auch mit sich führt dass weder x', y'
noch auch z', y' einen von 1 verschiedenen Theiler mehr
haben.
Dies vorausgeschickt, wird nun zuerst behauptet, dass von
den Zahlen x, y eine gerade, die andere ungerade sein muss;
denn, da der Fall, wo beide gerade wären, durch die voraufgeschickte Bemerkung ausgeschlossen ist, bleibt sonst nur
übrig, dass beide ungerade und demnach S gerade wäre; dies