Die Elemente der Zahlentheorie / dargestellt von Paul Bachmann.

Die quadratischen Formen. 191
formation der quadratischen Formen zum Ausgangspunkte
nimmt und die Perioden betrachtet, welche sich für die sogenannten reducirten Formen bilden lassen. Dirichlet hat
diese Gaussische Behandlung der Aufgabe in einer sehr
schönen, von Dedekind in der Darstellung seiner Vorlesungen auch verwendeten Arbeit*) wieder wesentlich gekürzt
und vereinfacht. Im Grunde der Sache laufen beide Methoden
einander parallel und unterscheiden sich hauptsächlich darin,
dass Lagrange den Zusammenhang der Frage mit der Transformation der quadratischen Formen, Gauss den mit der
Kettenbruchentwicklung gewissermassen bei Seite gestellt hat;
die gleiche Richtung der Methoden zeigt sich sofort, wenn
man, wie Verfasser dieses Werkes es in der 4ten seiner Vorlesungen über die Natur der Irrationalzahlen, Leipzig 1892,
gethan hat, bei Darstellung der Lagrange'schen Betrachtungen die elementarsten Sätze über Transformation quadratischer Formen voraussetzt. Die sehr einfache Theorie der
Pell'schen Gleichung aber, welche wir hier im vorigen auseinandergesetzt haben, verdankt man Dirichlet, welcher in
genialster Weise ihre so elementaren Grundgedanken benutzt
hat, um das viel schwierigere analoge Problem, welches die
Theorie gewisser Formen höherer Grade oder die allgemeine
Lehre von den complexen ganzen Zahlen in der Frage nach
den sämmtlichen complexen Einheiten darbietet, auf gleiche
Weise vollständig zu lösen.**)
Um die Fundamentalauflösung der Pell'schen Gleichung
zu finden, genigt es theoretisch, folgenden, praktisch freilich
nicht immer empfehlenswerthen Weg einzuschlagen: Man
setze in
1 + -Dy2
für y nach einander die ganzen Zahlen 1, 2, 3, 4,... ein
so lange, bis man zuerst auf eine Zahl y =U kommt, für
*) Dirichlet, Vereinfachung der Theorie der binären quadratischen Formen von positiver Determinante, Abh. der Berl. Akad. 1854.
**) S. Monatsber. der Berliner Akademie 1841, 1842 und 1846, sowie auch Comptes Rendus der Pariser Akademie 1840. Eine ausführliche Entwicklung dieser Notizen gab der Verf. in einer Abhandlung:
de unitatum complexarumi theoria, Berolini 1864.