Die Elemente der Zahlentheorie / dargestellt von Paul Bachmann.

190 Vierter Abchnitt
das wesentliche Verdienst zu, die eigenthümliche Bedeutung,
welche die Gleichung für die Theorie der quadratischen
Formen hat, zuerst erkannt, nämlich bemerkt zu haben, dass
man der Lösungen dieser Gleichung durchaus bedarf, um alle
Darstellungen einer Zahl durch eine quadratische Form von
positiver Determinante D, oder, was darauf hinauskommt, alle
ganzzahligen Lösungen einer Gleichung von der Form
x - DyZ -= M
angeben zu können. Indessen liessen alle diese Vorarbeiten
in zwei Punkten zu wünschen: erstens, und dies ist der Hauptpunkt, gaben sie nicht mit Strenge den Nachweis, dass die
Pell'sche Gleichung wirklich stets eine von der evidenten
verschiedene Auflösung besitzt, und zweitens waren die Methoden nicht geeignet, dieselbe mit Nothwendigkeit, ihre Existenz angenommen, finden zu lassen. Diese wesentliche Lücke
in der Theorie der Gleichung wurde durch Lagrange ausgefüllt, zuerst in einer Arbeit in den Miscellanea Taurinensia
t. IV: solution d'un probleme d'Arithmetique; doch genügte
Lagrange selbst diese Arbeit nicht wegen ihrer Umständlichkeit, und er gab dann im ~ II der Additions zu Euler's elemens d'Algebre eine andere Methode, von der er meint, dass
sie aus den wahren Gründen der Sache selbst geschöpft sei.
In der That hängt die Auflösung der Pell'schen Gleichung
auf das innigste zusammen mit der periodischen Kettenbruchentwicklung für 1/D oder allgemeiner für die Wurzeln der
quadratischen Gleichung
az2 + 2bz + c = 0,
und auf sie gründet sich Lagrange's Arbeit. Eine andere
Methode zur Auflösung hat darauf Gauss in den Artikeln
183-201 der Disqu. Arithm. gegeben, indem er die Transparticuliere par laquelle la formule an' + 1 devient un quarr6 en
nombres entiers; Comment. Petrop. VI p. 175 oder Comment. arithm.
collectae I p. 4: de solutione problematum Diophanteorum per numeros
integros; Nov. Comment. Petrop. IX p. 28 oder Comment. arithm. coll. I
p. 316: de usu novi algorithmi in problemate Pelliano solvendo; Opusc.
anal. I p. 310 oder Comment. arithm. coll. II p. 35: nova subsidia pro
resoliutione formulae axs2 + 1 = — y2