Die Elemente der Zahlentheorie / dargestellt von Paul Bachmann.

188 Vierter Abschnitt
Reihe der Potenzen dieser Grösse, wie bemerkt, über jede
Grenze hinaus wächst. Man erhielte also dann Ungleichheiten
von der Form:
(T + U/D)n < t + uj/D < (T + UV/D)"+
oder:
tn + /n 1D < t + u /D < (t+ Un 1/D) (1 + U/D)
oder auch, wenn man mit tn - tn /D multiplicirt und dabei
beachtet, dass nach der Gleichung
(tn + un /D) (tn - Uan /D) = 1
dieser Multiplikator positiv ist, die folgenden:: < (t + u /D) (tn - Ut,1D) < T + UD D.
Hierin ist aber, wenn man
(t + uVD) (tn - un/D) = r + v D
setzt, r, v jedenfalls eine positive Auflösung der Pell'schen
Gleichung, denn der Ausdruck r + vV/D ist wegen der ersten
Ungleichheit positiv und grösser als 1. Dann bedingt aber
die zweite Ungleichheit einen Widerspruch, denn für eine
positive Auflösung r, v kann nicht
r+v'VD <T+ J/VD
sein. Man schliesst demnach, dass wirklich alle positiven Auflösungen t, u durch die Formel gegeben
werden:
t + ub /D = (T + u/D),
wenn dem Exponenten n alle positiven ganzzahligen
Werthe beigelegt werden.
Diese Formel liefert aber weiter die folgende:
t- ut /D=v (l- U /D)V,
der man indessen auch die Form geben kann:
t - /D = (T+ iUV )-",
da
(T + U/D). (T - U/D) =
ist. Und da man aus t, u und t, - u die beiden übrigen
der vier zusammengehörigen Auflösungen erhält, indem man