Die Elemente der Zahlentheorie / dargestellt von Paul Bachmann.

Die quadratischen Formen. 187
Diese Betrachtung bleibt offenbar giltig, auch wenn
tf, u' mit t', u' identisch ist.
Hieraus folgt dann weiter, dass, wenn für irgend einen
positiven ganzzahligen Exponenten n
(20) (T + Uy/D)- = tn + V,n ~ VD
gesetzt, nämlich mit tn der rationale Theil, mit un der Coefficient von ]/D in der Entwicklung des Binoms bezeichnet
wird, tn, Un eine positive Auflösung der Pell'schen Gleichung
repräsentiren, sobald T, U selbst eine solche ist. Demnach
giebt es unendlich viel positive Auflösungen; denn, wenn
der positive Ausdruck T+ UJ/D, der jedenfalls grösser als
Eins ist, zu immer höheren Potenzen erhoben wird, wird er
stets neue, wachsende Werthe erzeugen und so zu immer
neuen positiven Auflösungen tn, un hinführen. Wir wollen
nun unter T, U diejenige positive Auflösung verstehen, bei welcher U den allerkleinsten Werth hat;
eine solche giebt es offenbar, und auch nur eine, weil neben
einer positiven Auflösung t, u nicht noch eine zweite t', u
möglich ist, deren zweites Element denselben, deren erstes
aber einen vom vorigen verschiedenen Werth hätte. Für
jene Auflösung T, U hat dann auch T den allerkleinsten
Werth, weil nach der Beziehung t2 = 1 + Du2 mit u auch t
wachsen muss; also bezeichnet zugleich T, U diejenige positive Auflösung, für welche der Ausdruck t + -u /D am
kleinsten ist, so, dass für jede andere positive Auflösung t, u
die Ungleichheit besteht:
t + /D > T + U/ D.
Man nennt T, U auch die Fundamentalauflösu ng
der Pell'schen Gleichung, weil es, wie wir jetzt zeigen
können, möglich ist, vermittelst ihrer alle übrigen Auflösungen
der Gleichung auszudrücken. In der That, wenn zunächst
noch t, u eine positive Auflösung bezeichnet, so muss für
einen passenden positiven ganzzahligen Exponenten n
t + uJ/D =( + Ul/Dl))y
sein. Denn andernfalls müsste t + ut1/i zwischen zwei
aufeinanderfolgende Potenzen von T+ UI/D fallen, weil die