Die Elemente der Zahlentheorie / dargestellt von Paul Bachmann.

186 Vierter Abschnitt
und diese soll hinfort als positive Auflösung bezeichnet
werden. Man überzeugt sich leicht, dass dieselbe dadurch
charakterisirt ist, dass für sie der Ausdruck
t+ u/i/D
positiv und grösser als 1 ist. Denn dieser Ausdruck ist
numerisch offenbar grösser als die zwei andern:
t- syD, -t +u/~),
welche unter sich numerisch gleich sind, und da
(t + u/D). (t - /D) 1
ist, muss
t+ t 1-D > 1, t - ]/D < l
sein; andererseits ist der, der vierten der zusammengehörigen
Auflösungen entsprechende Ausdruck
- t- u1/D
wesentlich negativ, und demnach t + ut~/D der einzige, der
gleichzeitig positiv und grösser als 1 ist.
Unsere Aufgabe, die sämmtlichen Auflösungen der
Pell'schen Gleichung zu finden, wird gelöst sein, sobald wir alle positiven Auflösungen, aus denen die
andern sofort sich ergeben, gefunden haben werden.
In dieser Hinsicht ist nun zu bemerken, dass aus zwei positiven Auflösungen stets eine dritte gefunden werden kann;
denn, sind t', u'; t, u" zwei positive Auflösungen und setzt
man
(t'+ u, /D). (t"+ "J/D) =t -+ ul/D,
indem man das Rationale und das Irrationale links und rechts
mit einander vergleicht, so werden
t = — t't"- }- Du't", ' - t'" — tu
zwei positive ganze Zahlen sein, welche, da in jener Gleichlung
]/D in - /D verwandelt werden, also auch
(t' '-/D). (t"- u"VD) = - ul/,D
gesetzt werden kann, der Pell'schen Gleichung genügen, wie
sogleich erhellt, wenn die beiden vorigen Gleichheiten in einander multiplicirt werden.