Die Elemente der Zahlentheorie / dargestellt von Paul Bachmann.

Die quadratischen Formen. 185
x -- x", y =y" auswählen können, sodass x", y' von den
beiden Systemen x', y' und - x' - y verschieden ist.
Nachdem dies feststeht, erhält man jetzt für die beiden
Systeme x', y' und x, y" folgende Gleichungen:
x'2 - Dy2 = l, x"2 - Dy"2 =
und daher mittels der Formel (F) auch diese:
(x'x"- D'y)2 D. (x'y" - x"y')2 12
Hierin ist x --- - wegen der Congruenzen
x"' x, y"' y' (mod. 1)
eine ganze Zahl; die vorstehende Gleichung erheischt demnach, dass auch x x — 'y eine solche ist; werden diese
aber mit u, t resp. bezeichnet, also
x'x"- Dy'y" X'y - x y
=_t, Igesetzt, so ergiebt sich eine ganzzahlige Auflösung der Pellschen Gleichung, da
t2 Du2 - 1.
Und zwar kann diese Lösung nicht jene als evident bezeichnete Lösung t = _ 1, u = 0 sein, denn aus dieser Annahme
ergäbe sich
x'x"- Dy'y"= -+, x'y"- x y'- 0
und nun ohne Mühe x"-= - x' und zugleich y"-= ~_ y' resp.,
gegen die Voraussetzung.
Hiermit ist der Nachweis geführt, dass ausser
der evidenten wenigstens noch eine ganzzahlige Auflösung der Pell'schen Gleichung vorhanden ist.
9. Auf diesem Nachweis des wichtigsten Punktes in der
Theorie der Pell'schen Gleichung beruht alles Folgende.
Hat man nämlich eine solche Auflösung t, u, deren u also
von Null verschieden ist, so giebt es, da t niemals Null sein
kann, daneben noch drei andere:
t, - i; -t, - t, -u.
Von solchen vier zusammengehörigen Auflösungen besteht
nun offenbar nur eine einzige aus zwei positiven Zahlen,