Die Elemente der Zahlentheorie / dargestellt von Paul Bachmann.

184 Vierter Abschnitt
auch bereits gefunden haben mag, man wird dem vorigen zufolge offenbar noch ein neues dazu finden können, indem man
für A jedesmal den kleinsten der Werthe nimmt, welche der
Ausdruck x - y/D für die bereits gefundenen Systeme x, y
erhlalt.
Nun ist
x + yl/D = (x - yYD) + 2y-1D
und der numerische Werth einer Summe höchstens gleich der
Summe der numerischen Werthe der Summanden. Für alle
jene unendlich vielen Systeme x, y ergiebt sich daher der
numerische Werth von
x + yVD
kleiner als die Summe aus dem numerischen Werthe von
y
und dem von 2yj/D, d. i., weil diese Zahlen gleiches Vorzeichen haben, kleiner als der numerische Werth von
2+ 2y1/
folglich wird für alle jene x, y der Ausdruck
x2 - Dy2= (x + y/yD). (x - y1/D)
numerisch kleiner als 2 + 2 /D, umsomehr also auch kleiner
als 1 + 2]/D. Da aber x2 - Dy2 eine ganze Zahl vorstellt
und es unter einer endlichen Grenze nur eine endliche Anzahl ganzer Zahlen giebt, so muss für unendlich viele
jener Systeme x, y der Ausdruck x2 - Dy2 ein und
denselben ganzzahligen Werth 1 annehmen. Nun gestatten aber die Reste, welche die Zahlen x, y (mod. I) lassen
können, auch wieder nur eine endliche Anzahl von Combinationen. Unter den letztbezeichneten unendlich vielen
Systemen x, y muss es darum wieder unendlich viel solche
geben, denen dieselbe Restcombination (mod. 1) entspricht,
sodass, wenn x', y' eins von ihnen ist, unendlich viel andere
x, y vorhanden sind, welche die Congruenzen erfüllen:
(19) x-x', y- y' (mod. 1).
Möglicherweise findet sich unter ihnen auch das System
x - x, y - y'; doch wird man stets ein anderes