Die Elemente der Zahlentheorie / dargestellt von Paul Bachmann.

Die quadratischen Formen. 183
t2 -- u2=
Auch diese wird durch die Zahlen t =~- - 1u =- 0 befriedig
werden; doch wollen wir von diesen evidenten beiden Lösungen
zunächst gänzlich absehen, vielmehr den Nachweis liefern,
dass wenigstens noch eine andere Auflösung ausser ihr vorhanden ist. Hierzu zeigen wir zuerst, dass es stets ein
System ganzer Zahlen x, y giebt, für welche der
numerische Werth des Ausdruckes
(18) x -yVD
1
kleiner ist als der von - und zugleich kleiner als
y
eine beliebig gegebene Grenze A. Sei nämlich die
ganze Zahl m so gross, dass 1 < A ist; giebt man dann dem
y alle ganzzahligen Werthe von 0 bis n und bestimmt jedesmal x als die unmittelbar über yj/D liegende ganze Zahl, so
wird offenbar der Ausdruck (18) einen Werth erhalten, der
zwischen 0 und 1 liegt, und solcher Werthe werden, den
~m + 1 Werthen des y entsprechend, gleichfalls mn + 1 verschiedene gefunden werden. Da man aber das Intervall
von 0 bis 1 nur in m Theilintervalle von der Grösse - zerlegen kann, müssen wenigstens zwei jener Werthe, etwa
X'-V y'1D und x" — yV"/D
in dasselbe Theilintervall fallen, ihr Unterschied
(x'-x") - (y'- y)/D,
welcher ein von Null verschiedener Ausdruck wieder von der
Form (18) ist, also allen Anforderungen genügen, nämlich:
einen numerischen Werth haben, der kleiner als - also nicht
'i
allein kleiner als A, sondern auch kleiner als der Werth
1 1
I- = — " ist, da y' — y"< m ist.
Hieraus folgt zweitens leicht, dass es unendlich
viel Systeme ganzer Zahlen x, y giebt, für welche
der numerische Werth des Ausdruckes (18) kleiner
als der von ist. Denn, wieviel solcher Systeme man
y