Die Elemente der Zahlentheorie / dargestellt von Paul Bachmann.

Die quadratischen Formen. 181
Falle der Einheit gleich werden, wenn J selbt gleich 1 ist.
Daher hat die Pell'sche Gleichung für eine negative
Determinante im allgemeinen nur zwei Auflösungen,
nämlich t = + 1, 1 u = 0; für die negative Determinante
D = - 1 jedoch vier, nämlich t-= 1, t =0 und t=0,
Bevor wir zu der ungleich schwierigeren Frage für eine
positive Determinante übergehen, schliessen wir hieran noch
die Lösung der Aufgabe, alle möglichen eigentlichen
Darstellungen einer gegebenen Zahl m durch eine
gegebene Form (a, b, c) von negativer Determinante
zu finden. Es handelt sich also um die Auflösung der
Gleichung
(ax + by)2 + Jy2 - am..Man setze nun für y der Reihe nach die ganzen Zahlen
0,, 2, 3,... und bilde die Differenz
am - Jzy2
solange, als dieselbe nicht negativ wird; wird dieselbe für
keinen jener Werthe einer Quadratzahl gleich, so ist m nicht
darstellbar durch die Form (a, b, c). Wird aber z. B. für
y- =y die Differenz gleich einer Quadratzahl z2:
am - Dy72 = 2
so versuche man eine ganze Zahl x zu finden, welche einer
der beiden Gleichungen
ax + by -= + z
ax +- by - z
Genüge leistet; jede Lösung x = a einer dieser Gleichungen
giebt zusammen mit y = y eine Darstellung a, y der Zahl
m durch die Form (a, b, c) und man stellt sogleich fest, ob
es eine eigentliche Darstellung ist oder nicht, indem man den
grössten gemeinsamen Theiler von a, y bestimmt. Hat man
diese Operation für jede Zahl y, welche awc ~- Dy2 zu einer
Quadratzahl macht, durchgeführt, so kennt man alle eigentlichen Darstellungen mit positivem y, und findet hieraus ersichtlich die übrigen, indem man beide Zahlen cc, y mit entgegengesetzten Vorzeichen nimmt. Von den so erhaltenen