Die Elemente der Zahlentheorie / dargestellt von Paul Bachmann.

178 Vierter Abschnitt
Gruppe nimmt oder nicht, jenachdem sie zu derselben
Wurzel gehören oder nicht.
Betrachten wir dann zwei verschiedene derselben Darstellungsgruppe angehörige Darstellungen a, y und c', y' der
Zahl m durch die Form (a, b, c) dergestalt, dass dieselben
den Congruenzen
1. aa -- by 7 - ny, 2. aa'+ by' - ny'
3. ba + cy -- a, 4. ba' + cy' na'
(mod. m)
Genüge leisten, so ergiebt sich aus den beiden ersten die
erste, aus den beiden letzten die zweite der folgenden Congruenzen:
a (y'- a'y) 0, c (ay'- a'y) - 0 (mod. rn).
Wenn man aber die erste jener vier Congruenzen mit der
letzten multiplicirt und davon das Produkt der beiden mittleren subtrahirt, erhält man nach einigen leichten Reduktionen
die folgende:
2(b2 - ac) (ay' - a'y) - 0 (mod. mi),
welche, mit den beiden vorigen zusammen, erfordert, dass
ay'- ay durch m theilbar ist; denn durch jede einzelne der
in m enthaltenen Primzallen darf wenigstens einer der drei
Coefficienten a, 2b, c, welche ohne gemeinsamen Theiler vorausgesetzt sind, und folglich wenigstens einer der drei Multiplikatoren a, c, 2(b2-ac) nicht theilbar sein.
Wir heben an dieser Stelle die wichtige Eigenschaft der Form x2 -Dy2 hervor, welche durch nachstehende identische Gleichung ausgedrückt wird:
(F) (x2 - Dy2)(x ') (x' ) (xx'- Dyy') - D. (xy'- x'y)2.
Mehrfach werden wir von ihr Gebrauch zu machen haben;
hier benutzen wir sie, um folgende Gleichung zu schreiben:
[(aa + br) - Dy2]. [(aa' + by)2 - D'2]
[(ac -+ by) (raa+t b') - Dy']2 - D [a (ay- r'y)]2
Da nun nach der Annahme die linke Seite dieser Gleichung gleich (am)2, das subtractive Glied auf der rechten
aber, dem zuvor Bewiesenen zufolge, dutch (am)2 theilbar ist,