Die Elemente der Zahlentheorie / dargestellt von Paul Bachmann.

Die quadratischen Formen. 177
Jede eigentliche Darstellung von m durch die
Form (a, b, c) gehört zu einer bestimmten Wurzel der
Congruenz (8), oder sie ist durch die Gleichungen
(11) charakterisirt, in denen unter n eine bestimmte
Wurzel jener Congruenz zu verstehen ist.
Aus den Gleichungen (5), (6), (7) finden sich noch leicht
die folgenden:
(12) aa + by- = - ny, bac + cy =- ~z + - a,
welche als Congruenzen (mod. m) auch so geschrieben werden
können:
iaa +- b7y +- nyT 01
(13) _ O (mod. I)
[a +- cy - na 0
und die Wurzel n leicht finden lassen.- Wenn übrigens y
und m einen grössten gemeinsamen Theiler d haben, so muss
dieser auch in a aufgehn; alsdann bestimmt die erste dieser
Congruenzen den Rest der Wurzel n zwar unzweideutig in
Bezug auf den Modulus - denn sie ist mit der folgenden
gleichbedeutend:
aa + by y
-n ' (mod. -*)
d d d
sie ist jedoch nicht geeignet, den Rest jener Wurzel auch bezüglich der in d aufgehenden Faktoren zu bestimmen, hierzu
dient dann vielmehr die zweite jener Congruenzen, nach
welcher sich findet:
n - b (rod. d).
Z. B. ist offenbar die Zahl a selbst durch die Form
(a, b, c) darstellbar, indem man a =- 1, y = 0 setzt. Da
hier y durch a theilbar ist, muss die Wurzel, zu welcher diese
Darstellung gehört, nach dem eben Bemerkten bestimmt werden,
und sie ergiebt sich durch die Beziehung
n b (mod. a).
6. Dem Vorigen zufolge kann man alle möglichen
eigentlichen Darstellungen einer Zahl m durch die
nämliche Form je nach den Congruenzwurzeln, zu
denen sie gehören, in Gruppen theilen, indem man
zwei Darstellungen, wenn es deren giebt, in dieselbe
B achlmann, Die Elemente der Zahlentheorie. 12