Die Elemente der Zahlentheorie / dargestellt von Paul Bachmann.

176 Vierter Abschnitt
muss D quadratischer Rest von n sein. Es ist indessen
sogleich hier hervorzuheben, dass diese Bedingung für die
Darstellbarkeit der Zahl m zwar nothwendig, keineswegs aber,
wie später sich herausstellen wird, auch ausreichend ist.
Wenn jedoch m durch (a, b, c) mittels a, y wirklich
darstellbar ist, so bestehen nach dem obigen folgende Gleichungen:
aa2 + 2bay + cy2 -- m
(ac + by) + (ba + cy) d= n
(11) a P2 a +- +2bß + c2 = m,
a - fy-= 1,
in denen n eine Wurzel der Congruenz (8) und m1 durch die
Formel (9) bestimmt ist. Statt ß, 6 kann nun auf unzählige
Weisen ein anderes, der letzten Gleichung genügendes System,
allgemein das System
p-'= — +, d=6 +,
worin z eine unbestimmte ganze Zahl ist, eingesetzt werden.
Geschieht dies, so geht der Werth n über in den folgenden:
ne = (ca + by) ' + (ba + cy) d'
(aa + by) P + (b+c) + c) + [(ac + by) a + (' ba+ cy)y]
= + Z * m;
der neue Werth, der aus gleichen Erwägungen auch eine
Lösung der Congruenz (8) sein muss, ist folglich (mod. m)
congruent mit n, d. i. er repräsentirt dieselbe Wurzel jener
Congruenz, wie n, und durch passende Wahl der unbestimmten
ganzen Zahl z kann man offenbar es bewirken, dass n' irgendwelche der zu n congruenten Lösungen der Congruenz (8)
wird. Wählt man also nach einander alle Systeme ß, 6,
welche die letzte der Gleichungen (11) erfüllen, so durchläuft
n alle Lösungen von (8), welche die eine bestimmte Wurzel
dieser Congruenz ausmachen. Demnach ist die Darstellung
a, y - unabhängig von der willkürlichen Auswahl der
Zahlen ß, 6 - durch diese Congruenzwurzel wesentlich
charakterisirt, und diese Thatsache wollen wir dadurch ausdrücken, dass wir sagen: