Die Elemente der Zahlentheorie / dargestellt von Paul Bachmann.

Einleitung. 3
Im erstern Falle ist die Anzahl der Einheiten, aus denen A
besteht, gleich derjenigen, aus denen B besteht, im andern
Falle ist jene von dieser verschieden.
Hierbei ist aber die Bemerkung wesentlich, dass
die Anzahl der Einheiten, aus denen eine Vielheit
besteht, ganz unabhäingig davon ist, in welcher
Reihenfolge diese Einheiten geordnet gedacht, d. h.
in unsere Vorstellung aufgenommen werden. In der
That ist die Vielheit selbst von dieser Reihenfolge unabhängig.*) Denn die Einheiten, aus denen sie besteht, sind,
wie bemerkt, an sich unterschiedslos und erst verschieden
durch die Stelle in der Reihe, in welcher wir sie allmählich
zur Vielheit verknüpfen; wenn wir demnach hierbei an die
Stelle einer Einheit eine andere setzen, so unterscheidet
sich jetzt diese in nichts mehr von der vorigen, und die Verknüpfung der nun dort stehenden mit den vorangehenden
muss dasselbe Resultat geben, wie zuvor. - Zwei Vielheiten
also sind identisch, wenn eine aus der andern durch eine
Vertauschung in der Reihenfolge der Einheiten entsteht. Eine
Vielheit abzählen hiess aber, ihren Einheiten die Reihe der
Ordnungszahlen beilegen oder sie diesen zuordnen; solche
Operation an identischen Vielheiten ausgeführt, muss nothwendig Identisches, insbesondere also auch denselben Umfang
der Ordnungszahlen, deren man bedarf, d. h. dieselbe Anzahl
der Einheiten ergeben.
Diesem zufolge ist es also die Anzahl und sie allein,
welche eine Vielheit zu einer bestimmten macht, durch
welche mit andern Worten eine Vielheit von einer andern
verschieden ist. In der Reihe (1), der sogenannten
natürlichen Zahlenreihe, heisst jede Zahl - und entsprechend die durch sie ausgedrückte Anzahl - grösser als
jede der ihr voraufgehenden, kleiner als jede der ihr folgenden
Zahlen; insbesondere heisst von zwei darin aufeinanderfolgenden
Zahlen die voraufgehende um eine Einheit kleiner als die
folgende, diese um eine Einheit grösser als jene.
*) Anders wäre dies bei einer beliebigen Mehrheit von Objekten.
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