Die Elemente der Zahlentheorie / dargestellt von Paul Bachmann.

Die quadratischen Formen. 173
Zahlen eines beliebigen Vorzeichens dargestellt
werden. Denn der Gleichung (2) gemass wird am positiv
oder negativ werden, jenachdem ax+- by numerisch grösser
oder kleiner ist als y]/D. Das erstere ist, wie auch y gewählt werde, offenbar dadurch zu erreichen, dass x hinreichend
gross gewählt wird; um aber das zweite zu erreichen, wähle
man y zunächst so gross, dass a numerisch kleiner ist als
y]/D; da man dann x so wählen kann, dass ax + by numerisch kleiner oder doch wenigstens nicht grösser wird als a,
wozu man offenbar für x nur eine der beiden ganzen Zahlen
zu nehmen braucht, zwischen denen liet, so ist es dann
um so mehr auch kleiner als y/D. - Eine Form mit positiver Determinante wird aus dieser Ursache, indem man aus
dem oben angegebenen Grunde von denjenigen Formen, deren
Determinante eine positive Quadratzahl ist, gänzlich absieht,
im Gegensatz zu den bestimmten Formen eine unbestimmte
genannt. Solche Form wäre z. B. die Form (3, - 7, 4),
deren Determinante 72 - 3 - 4 = 37 positiv ist.
4. Wie beschaffen nun aber auch die Determinante einer
quadratischen Form sei, ob positiv oder negativ, so können,
wie wir hier von vornherein zeigen wollen, ehe wir näher auf
das Problem der Darstellung selbst eingehen, durch eine
gegebene eigentlich primitive Form (a, b, c) stets
Zahlen eigentlich dargestellt werden, welche dasselbe
Vorzeichen haben wie a und zu einer gegebenen Zahl
n relativ prim sind.
Denn, ist p irgend ein ungerader Primfaktor von n, so
sind entweder beide äussere Coefficienten a, c durch p theilbar, dann aber sicherlich der mittlere Coefficient b nicht; oder
es ist einer der äusseren Coefficienten, etwa a, nicht theilbar
durch p. Im ersteren Falle wird der Ausdruck
ax2 + 2bxy + cy2
offenbar nicht theilbar durch p, wenn man x, y selbst als
nicht theilbar durch p voraussetzt; im zweiten Falle geschieht
es, wenn y durch p theilbar, x dagegen als nicht theilbar
durch p vorausgesetzt wird. Desgleichen wird der Ausdruck,