Die Elemente der Zahlentheorie / dargestellt von Paul Bachmann.

172 Vierter Abschnitt
Ist zweitens die Determinante negativ,
D= -J,,
wo nun z eine positive ganze Zahl bedeutet, ein Fall, in
welchem weder a noch c Null sein kann, so wird die Gleichung (2) folgende Form gewinnen:
(ax + by)2 + dy2 = am.
Folglich muss am positiv sein, sobald nicht beiden Unbestimmten x, y der Werth Null beigelegt wird, was stets
ausgeschlossen werden darf, da wir uns auf relativ prime x, y
beschränken wollen. Durch eine Form (a, b, c) von negativer Determinante können also nur solche Zahlen
dargestellt werden, welche dasselbe Vorzeichen haben
wie a; insbesondere muss daher auch der zweite
äussere Coefficient c, welcher mittels der Werthe x = 0,
y = durch die Form dargestellt wird, dieses Vorzeichen
haben; und in der That würde nach Gleichung (3) D positiv
werden, sobald a und c entgegengesetzte Vorzeichen hätten.
Dieses Umstandes wegen nennt man die Formen von negativer
Determinante, welche nur Zahlen eines bestimmten Vorzeichens
die Darstellung gestatten, bestimmte Formen und theilt sie
in zwei Classen: die positiven und die negativen Formen,
jenachdem die beiden äusseren Coefficienten positiv oder
negativ sind, weil je nach diesen beiden Fällen nur positive
oder nur negative Zahlen resp. einer Darstellung durch die
Form geniessen. Z. B. würde die Form (3, - 6, 17) eine
positive, die Form (- 3, 6, - 17) eine negative Form sein,
denn ihre Determinante ist dieselbe negative Zahl:
62 - 3 17 - 15.
Ist endlich drittens die Determinante eine positive, jedoch von einem Quadrate verschiedene Zahl,
was wieder bedingt, dass keine der Zahlen a, c Null sein
kann, so lässt sich die Gleichung (2) folgendermassen schreiben:
(4) (ax + by + y D) (ax+ by - y1/D) = am,
d. h. die quadratische Form ist in diesem Falle in
zwei, zwar irrationelle, aber reelle Faktoren ersten
Grades zerlegbar. Durch solche Formen können nun