Die Elemente der Zahlentheorie / dargestellt von Paul Bachmann.

Die quadratischen Formen. 171
nur für eine jede solche die etwaigen ganzzahligen Lösungen
der beiden linearen Gleichungen
ax + by + dy h
ax + by - dy =-
aufzusuchen, um alle Darstellungen zu finden. In diesem Falle
- welcher, als hiermit erledigt, von der ferneren Betrachtung
ganz ausgeschlossen werden soll, da in ihm die quadratische
Form keine wesentlich quadratische ist, sondern in das
Produkt zweier rationalen Formen ersten Grades zerfällt -
ist ersichtlich auch der vorher ausgeschlossene mit enthalten,
wenn gleichzeitig a =0 und c = 0 ist; denn dann ist D = b,
und die quadratische Form ist 2bxy; die zu lösende Gleichung
nimmt daher die Gestalt an:
2bxy = m,
welche nach derselben Regel wie zuvor, wenn möglich, aufgelöst werden kann.
Hat man z. B. die Gleichung
3x2 - 14xy + 16y2 = 15,
so findet sich D = 1, und die Gleichung kann in die Form
(3x-6y) (3x - 8y) ==45
übergeführt werden. Den Zerlegungen der Zahl 45 in zwei
Faktoren:
45 - 1 45 - 5 9
entsprechen keine ganzzahligen Auflösungen; den Zerlegungen
45 =- 3 * 15 -- 9. 5 = 15. 3 = 45 1
entsprechen beziehungsweise die Auflösungen
x - 11, y - 6
x - 7, y= 2
x- 17, y= 6
x= 59, y- 22.
Nun wären noch die Zerlegungen von 45 in je zwei negative
Faktoren zu betrachten; offenbar erhält man aber die zugehörigen Auflösungen, indem man die vorigen Systeme x, y
mit entgegengesetzten Vorzeichen nimmt.