Die Elemente der Zahlentheorie / dargestellt von Paul Bachmann.

Die quadratischen Formen. 169
sich auf Grund von Principien, welche von Dirichlet in der
Lehre von den complexen Einheiten, oder von Kummer zur
Definition der idealen Primfaktoren in Anwendung gebracht
worden sind, sehr willkommener Weise vereinfachen, und, wie
uns scheint, vervollkommnen; denn, indem man so die Transformation der quadratischen Formen gleicherweise wie die
Kettenbrüche, auf welche beide die genannten früheren Forscher
die Lehre von den quadratischen Formen gegründet haben,
umgehen kann, vermeidet man, Betrachtungen zu Hilfe zu
ziehen, welche ihrer Natur nach nicht eigentlich arithmetisch,
sondern, wie die erstere, der Algebra, die letztern, aus unendlichen Ausdrücken bestehenden, der Analysis zugehörig
sind. Wir werden im Folgenden die Theorie der quadratischen
Formen durchaus von dem Gesichtspunkte aus betrachten,
dass die Darstellbarkeit einer Zahl durch eine quadratische
Form den eigentlichen Quell der Entwicklung ausmache.
Statt die algebraische Transformation einer quadratischen
Form zu Hilfe zu nehmen, wird sie im Gegentheil so sich
uns als Corollar einfachster arithmetischer Sätze über quadratische Formen ergeben.
Wir vereinfachen nun zunächst das schwierige Problem
von der Darstellung einer Zahl durch eine quadratische Form
mittels folgender Bemerkung:
Wenn x, y eine ganzzahlige Lösung der unbestimmten
Gleichung (1) darstellen, bei welcher x, y einen von 1 verschiedenen grössten gemeinsamen Theiler d haben, so muss
offenbar d2 in im aufgehen, und wenn dann m == d2 m',
x = dx', y = dy' gesetzt werden, bilden x', y' eine Lösung
der Gleichung
ax'2 + 2bx'y'-+ cy'2 =- '
in ganzen, relativ primen Zahlen x', y'; umgekehrt liefert
jede Darstellung der Zahl m' durch die Form (a, b, c) mittels
relativ primer Werthe x', y' auch eine Darstellung von in
mittels solcher Werthe x, y, die den grössten gemeinsamen
Theiler d haben, indem man x = dx', y = dy' setzt. Man
nennt Darstellungen mittels relativ primer Werthe eigentliche, alle andern uneigentliche Darstellungen. Nach
der voraufgehenden Bemerkung kommen die uneigentlichen