Die Elemente der Zahlentheorie / dargestellt von Paul Bachmann.

Die quadratischen Formen. 167
quadratische Formen u. s. w. Da wir hier ausschliesslich auf
binäre quadratische Formen uns beschränken müssen, werden
wir immer kurz solche Formen blos quadratische nennen.
Sie haben demnach zum allgemeinen Ausdrucke:
ax2 + bxy + cy2.
Jedoch werden wir den Coefficienten b stets als eine gerade
Zahl voraussetzen, ein Fall, auf welchen der andere, wo b ungerade ist, und welcher grössere Umstände verursachen würde,
sich leicht zurückführen lässt, und werden daher den mittleren Coefficienten lieber mit 2b bezeichnen. Unter einer
quadratischen Form verstehen wir mithin im Folgenden jeden Ausdruck
ax2 + 2bxy + cy2,
in welchem a, b, c ganze Zahlen sind. Wenn es nur
darauf ankommt, die Coefficienten einer solchen Form hervorzuheben, nicht aber darauf, welche Werthe man augenblicklich den Unbestimmten beilegen will, so bezeichnet man jene
Form auch wohl durch das abkürzende Zeichen:
(a, b, c).
Zwei verschiedene Fälle können sich darbieten: entweder
haben die drei Coefficienten a, b, c der Form einen gemeinsamen, von 1 verschiedenen Theiler d, oder nicht. In jenem
Falle nennt man die Form eine abgeleitete (deriuata), in
diesem Falle eine primitive Form; denn eine Form der
ersten Gattung wird offenbar, wenn d den grössten gemeinsamen Theiler von a, b, c bedeutet und dann a = da',
b = db', c = de' gesetzt werden, aus der primitiven Form
(a', b', c') entstehen oder abgeleitet werden, indem man diese
mit d multiplicirt. Aber auch die primitiven Formen zerfallen
noch wieder in zwei Arten, jenachdem nämlich die Zahlen
a, 2b, c den grössten gemeinsamen Theiler 2 haben, oder
ohne gemeinsamen Theiler sind. Die letztere Art nennt man
eigentlich primitiv oder Formen der ersten Art, jene
uneigentlich primitiv oder von der zweiten Art. Der
grösseren Einfachheit wegen werden wir im Folgenden vollständig auf die eigentlich primitiven Formen, an denen die
Theorie ihren klarsten Ausdruck findet, uns beschränken.